Manacher遍历

Manacher算法

算法目的

一个字符串中找到最长回文子串

暴力方法(中心扩展法)

假设字符串的长度为N,那么回文串可能的中心有2N-1种。其中,每个单字符串都可作为回文串的中心,这种情况有N种。其次,双字符串也可作为回文串的中心,这种情况有N-1种。单字符中心负责扩展成长度为奇数的字符串,双字符串中心可以扩展成长度为偶数的字符串。例如:

  • 字符串“aba”有5种可能的中心:a、b、c、ab、ba

  • 字符串“abba”有7种可能的中心:a、b、b、a、ab、bb、ba

    中心扩展法的基本思想为:对于每一个中心都计算一次以其为中心的最长回文串长度

具体算法:对于每一个可能的回文中心,都尽可能地扩展它对应的回文区间[left, right],直到left=N或者S[left]不等于S[right]为止

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public String longestPalindrome(String s) {
int len = s.length();
String res = "";
for (int i = 0; i < len * 2 - 1; i++) {
int left = i / 2;
int right = left + i % 2;
while (left >= 0 && right < len && s.charAt(left) == s.charAt(right)) {
String tmp = s.substring(left, right + 1);
if (tmp.length() > res.length()) {
res = tmp;
}
left--;
right++;
}
}
return res;
}
  • 时间复杂度:O(n^2)

Manacher算法

一些概念:

  • 回文半径数组:记录以每一个位置为中心的回文半径的长度
  • 最右回文右边界:所有位置对应的回文半径中最靠右的位置
  • 回文右边界的中心:得到最右回文右边界的回文半径的回文中心是哪里(由哪个中心向右扩展得到最右回文右边界)

在回文右边界和回文左边界中的字符串是回文串。假设最右回文右边界R的中心是c,当前位置i关于c在其左边的对称位置为i’。

算法步骤:
分析四种情况

  1. i在R外,用暴力法扩展。
  2. i在R里,i’的回文半径整体彻底在L(回文左边界)和R的内部,那么以i为中心的回文半径等于以i’为中心的回文半径
  3. i在R里,i’的回文半径在L和R的外面,那么以i为中心的回文半径等于i到R的距离
  4. i在R里,i’的回文左边界和L压线,那么要将i’的回文半径继续向外扩展(i到R的区域肯定在i的回文半径里,不需扩展。R右边是否在i的回文半径里还不清楚,需要扩展才知道)

上面四种情况中,需要扩展的只有情况1和情况4,对于情况2和情况3,以i为中心的回文半径可以用O(1)的时间开销直接得出。而情况1和情况4在扩展时,R不断向右扩。只要进行一次成功的扩展,R都必然会增加。也就是说R最多就是从0位置到n位置(n为字符串长度)且R不会回退,所以**整个Manacher算法的时间复杂度为O(N)**

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//给定一个字符串,返回它的最长回文字串长度
public static int manacher(String str) {
if (str == null || str.length() == 0) {
return 0;
}
//将字符串扩展为manacher字符串(每个字符中间和字符串前后加#)
//因为扩展后字符串长度翻倍,因此求扩展后的字符串的最大回文半径,即求原来字符串的最大回文直径
char[] charArr = manacherString(str);
//pArr为回文半径数组
int[] pArr = new int[charArr.length];
int C = -1;
int R = -1;
//max记录最长的回文半径长度
int max = Integer.MIN_VALUE;
for (int i = 0; i != charArr.length; i++) {
//i在R里时:对于情况2和3,在i'的回文半径和i与R的距离中取较小值,即为i的回文半径
//对于情况4,先将回文半径设为R-i,再在之后while循环中将回文半径继续向外扩展
//i在R外时,先将i位置的回文半径置为1,之后再在while循环里扩展
pArr[i] = R > i ? Math.min(pArr[2 * C - i], R - i) : 1;
//情况2和情况3即使进入了该while循环,但是第一次if都不会成立,会直接break退出循环
//只有情况1和情况4会在while循环里进行回文半径的扩展。
while (i + pArr[i] < charArr.length && i - pArr[i] > -1) {
if (charArr[i + pArr[i]] == charArr[i - pArr[i]])
pArr[i]++;
else {
break;
}
}
//更新最大回文右边界R和其对应的回文中心C
if (i + pArr[i] > R) {
R = i + pArr[i];
C = i;
}
//更新max
max = Math.max(max, pArr[i]);
}
return max - 1;
}

//生成manacher字符串,将给定字符串str的两端和每个字符中间全加上特殊符号#
public static char[] manacherString(String str) {
char[] charArr = str.toCharArray();
char[] res = new char[str.length() * 2 + 1];
int C = 0;
for (int i = 0; i != res.length; i++) {
res[i] = (i & 1) == 0 ? '#' : charArr[C++];
}
return res;
}