72. 编辑距离

题目

给你两个单词 word1 和 word2，请你计算出将 word1 转换成 word2 所使用的最少操作数 。

你可以对一个单词进行如下三种操作：

插入一个字符
删除一个字符
替换一个字符  

示例 1：
输入：word1 = "horse", word2 = "ros"
输出：3
解释：
horse -> rorse (将 'h' 替换为 'r')
rorse -> rose (删除 'r')
rose -> ros (删除 'e')

示例 2：
输入：word1 = "intention", word2 = "execution"
输出：5
解释：
intention -> inention (删除 't')
inention -> enention (将 'i' 替换为 'e')
enention -> exention (将 'n' 替换为 'x')
exention -> exection (将 'n' 替换为 'c')
exection -> execution (插入 'u')

方法（动态规划）

1.定义dp数组

定义dp[i][j] 为 word1的前i个字符word1[0…i-1]转换成word2的前j个字符word2[0…j-1]需要的最少操作数

2.Base Case

• 首先，空串到到空串不需要任何操作。因此dp[0][0] = 0
• i=0时，要找空串word1匹配到word2前j个字符的最小步数，也即对word1进行插入操作的数量,也就是j
• j=0时，要找word1前i个字符匹配到空串word2的最小步数，也即对word1进行删除操作的数量，也就是i

3.状态转移方程

• 当word1[i-1]等于word2[j-1]时，相当于在这一步不需要任何操作，因此dp[i][j] = dp[i-1][j-1]
• 当word1[i-1]不等于word2[j-1]，可以对word1[i-1]进行替换、插入、删除三种操作

  1. 替换：将word1[i-1]替换成word2[j-1],需要一次操作。替换后二者相等，于是：dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1

  2. 插入：在word1[i-1]后面插入与word2[j-1]相等的字符，需要一次操作，插入的字符和word2[j-1]匹配，二者抵消，在word2中就不用再考虑word2[j-1]位置了。于是：dp[i][j] = dp[i][j - 1] + 1

  3. 删除：既然word1[i-1]与word2[j-1]不相等，那我们就删除掉word1[i-1]这个字符，需要一次操作。于是：dp[i][j] = dp[i - 1][j] + 1

     最后取上述三种操作的最小值即为dp[i][j],即：
     $$dp[i][j] = min(dp[i - 1][j - 1],dp[i - 1][j - 1],dp[i - 1][j]) + 1$$

代码

public int minDistance(String word1, String word2) {
    int[][] dp = new int[word1.length() + 1][word2.length() + 1];
    //Base Case
    dp[0][0] = 0;
    for(int j = 1; j <= word2.length(); j++)
        dp[0][j] = j;
    for(int i = 1; i <= word1.length(); i++)
        dp[i][0] = i;
    //状态转移
    for(int i = 1; i <= word1.length(); i++){
        for(int j = 1; j <= word2.length(); j++){
            if(word1.charAt(i - 1) == word2.charAt(j - 1))
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
            else
                dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j - 1], Math.min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j])) + 1;
        }
    }
    return dp[word1.length()][word2.length()];
}