62. 不同路径

题目

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。

问总共有多少条不同的路径？

示例 1:
输入: m = 3, n = 2
输出: 3
解释:
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向右 -> 向下
2. 向右 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向右

注意：如果把网格看成矩阵的话，m为列数，n为行数

方法（动态规划）

• 设$dp[i,j]$为从左上角开始，到达点(i,j)的所有可能路径数。由题意可知，若想到达一个点，只能从该点的上方或者左方到达。因此有如下状态转移方程：
  $$ dp[i,j] = dp[i-1,j] + dp[i, j-1]$$

• 确定base case:

  • 对于网格第一列上的所有点(j = 0)，若想到达它，只能从上方到达,即：
    $$ dp[i,j] = dp[i-1,j]$$
  • 对于网格第一行上的所有点(i = 0)，若想到达它，只能从左方到达,即：
    $$dp[i,j] = dp[i, j-1]$$
  • 对于网格左上角的点，dp[0,0] = 1;

代码

public int uniquePaths(int m, int n) {
    if(m == 1 || n == 1)
        return 1;
    int[][] dp = new int[n][m];
    //设置base case
    dp[0][0] = 1;
    for(int j = 1; j < m; j++)
        dp[0][j] = dp[0][j - 1];
    for(int i = 1; i < n; i++)
        dp[i][0] = dp[i - 1][0];
    //填写dp数组
    for(int i = 1; i < n; i++){
        for(int j = 1; j < m; j++)
            dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];
    }
    return dp[n - 1][m - 1];
}

方法（数学）

机器人要从左上角走到右下角，需要向右走n-1步，向下走m-1步，总共需要走m+n-2步。

我们要找路径数，也就是要找在这m + n - 2步中，选择n - 1步向右走的方案数。即：
$$
C_{m+n-2}^{n-1}=\frac{(m+n-2) !}{(n-1) !(n-1) !}
$$

public int uniquePaths(int m, int n) {
    int N = n + m - 2;
    double res = 1;
    for (int i = 1; i < m; i++)
        res = res * (N - (m - 1) + i) / i;
    return (int) res;
}