714.买卖股票的最佳时机含手续费

题目

给定一个整数数组 prices，其中第 i 个元素代表了第 i 天的股票价格 ；非负整数 fee 代表了交易股票的手续费用。

你可以无限次地完成交易，但是你每笔交易都需要付手续费。如果你已经购买了一个股票，在卖出它之前你就不能再继续购买股票了。

返回获得利润的最大值。

注意：这里的一笔交易指买入持有并卖出股票的整个过程，每笔交易你只需要为支付一次手续费。

示例 1:
输入: prices = [1, 3, 2, 8, 4, 9], fee = 2
输出: 8
解释: 能够达到的最大利润:  
在此处买入 prices[0] = 1
在此处卖出 prices[3] = 8
在此处买入 prices[4] = 4
在此处卖出 prices[5] = 9
总利润: ((8 - 1) - 2) + ((9 - 4) - 2) = 8.

方法（动态规划）

由于每一笔交易只需要支付一次手续费，依据生活经验，我们做如下的约定：只在买入股票时支付手续费，卖出时不支付手续费。

1.定义dp数组

由于在一个时刻，手中只有持有股票和不持有股票这两种情况，因此定义二维dp数组：

• dp[i][0]：第i天时，如果手中没有股票，这时所能获得的最大利润
• dp[i][1]: 第i天时，如果手中持有股票，这时所能获得的最大利润

2.Base Case

如果第0天不持有股票，说明还没有买过股票，利润为0，因此：
$$dp[0][0] = 0$$
如果第0天持有股票，说明就在第0天这天买了股票，不仅没有利润，还花费了prices[0]和手续费，因此：
$$dp[0][1] = -prices[0] - fee$$

3.状态转移方程

• 第i天手中没有股票这个状态可以由两个状态转移而来：

  • 第i - 1天时，手中就没有股票
  • 第i - 1天时，手中持有股票，但在第i天时卖出了股票，赚了prices[i]

  于是，dp[i][0]即为以上两种情况的较大值，即：
  $$dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i])$$

• 第i天手中持有股票这个状态可以由两个状态转移而来：

  • 第i - 1天时，手中就持有股票
  • 第i - 1天时，手中没有股票，但在第i天时买入了股票，花费了prices[i]以及手续费

  于是，dp[i][1]即为以上两种情况的较大值，即：
  $$dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i] - fee)

代码

public int maxProfit(int[] prices, int fee) {
    int[][] dp = new int[prices.length][2];
    dp[0][0] = 0;
    dp[0][1] = - prices[0] - fee;
    for(int i = 1; i < prices.length; i++){
        dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i]);
        dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i] - fee);
    }
    //在最后一天也可能有手中有股票和无股票两种情况，但都最后一天了，手中有股票不卖肯定亏了，所以手中无股票才会是这时利润最大的情况
    return dp[prices.length - 1][0];
}

• 时间复杂度：O(n)
• 空间复杂度：O(n)

因为一个时刻的状态只依赖于它前一个时刻的状态，所以可以我们可以进行空间复杂度优化如下：

public int maxProfit(int[] prices, int fee) {
    //noStock代表手中无股票，haveStock代表手中持有股票
    //二者分别对应着优化前的dp[i][0]和dp[i][1]
    int noStock = 0;
    int haveStock = - prices[0] - fee;
    for(int i = 1; i < prices.length; i++){
        noStock = Math.max(noStock, haveStock + prices[i]);
        haveStock = Math.max(haveStock, noStock - prices[i] - fee);
    }
    return noStock;
}

• 时间复杂度：O(n)
• 空间复杂度：O(1)